Пло­щадь осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра равна так как это пря­мо­уголь­ник. Тогда для пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна где r  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния, l  — об­ра­зу­ю­щая. Най­дем ра­ди­ус: Таким об­ра­зом, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Объём ко­ну­са равен по­это­му

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

От­но­ше­ние объ­е­мов по­доб­ных тел равно кубу ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­но­ше­нию высот, по­это­му: от­ку­да

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой тре­уголь­ник. Из усло­вия SA : AO = 2 : 3 озна­ча­ет, что SA : SO = 2 : 5, и диа­мет­ры се­че­ний от­но­сят­ся как 2 : 5. Таким об­ра­зом, пло­ща­ди се­че­ний от­но­сят­ся как 4 : 25, а, зна­чит, что пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са боль­ше пло­ща­ди по­лу­чен­но­го се­че­ния в раза.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Пусть O₁O₂  =  x, а угол ASO₂ равен α. Тогда: Вы­ра­зим объем воды, на­ли­той в бокал:

Вы­ра­зим раз­ность объ­е­мов и най­дем от­ре­зок SO₂, рав­ный x + 4. Так как по­лу­ча­ем, что Имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Най­дем ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Про­ве­дем се­че­ние, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. От­рез­ки PA и PB  — об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са, они равны, тогда тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный по опре­де­ле­нию. Углы при его ос­но­ва­нии равны по при­зна­ку, то есть а зна­чит, что и и APB  — рав­но­сто­рон­ний. Из усло­вия по­лу­ча­ем:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са найдём из рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOB (AO  =  OB  =  R) по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Оста­лось вы­чис­лить пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са:

Зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния равно:

Ответ: 32.